Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de $ℝ^{2}$ a $ℝ^{2}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

M: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que $M$ conserva la propiedad de la suma.

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Paso 4

Suma las dos matrices.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Paso 6

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

Paso 7

La propiedad de la suma de la transformación se mantiene verdadera.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Paso 8

Para que una transformación sea lineal, debe mantener la multiplicación escalar.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Paso 9

Factoriza la $p$ de cada elemento.

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Paso 9.1

Multiplica $p$ por cada elemento en la matriz.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

Paso 9.2

Aplica la transformación al vector.

Paso 9.3

Reorganiza $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

Paso 9.4

Factoriza el elemento $0, 0$ mediante la multiplicación de $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

Paso 10

La segunda propiedad de las transformaciones lineales se conserva en esta transformación.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

Paso 11

Para que la transformación sea lineal, se debe conservar el vector cero.

$M (0) = 0$

Paso 12

Aplica la transformación al vector.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 13

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 13.1

Reorganiza $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 13.2

Reorganiza $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 14

La transformación conserva el vector cero.

$M (0) = 0$

Paso 15

Como las tres propiedades de las transformaciones lineales no se cumplen, esta no es una transformación lineal.

Transformación lineal